22.10–23.10.2024, мини-курс лекций

Скалярные законы сохранения: классические и современные аспекты фундаментальной теории и приложения к математическому моделированию неоднородных задач
Андреянов Борис Павлович
Université de Tours
Аннотация. Мини-курс посвящён изложению основных аспектов теории скалярных законов сохранения, и в некоторой степени также и технически тесно связанных с ними скалярных задач типа конвекции-диффузии.

В первой части курса будут кратко описаны:

  • Невозможность построения классической теории; задача Римана и простые решения типа волн сжатия и разрежения и ударных волн («наивные теории»)1
  • Энтропийная формулировка С. Н. Кружкова и его классическая техника удвоения переменных (откуда выводится единственность «допустимых» слабых решений)

  • Основные классические способы построения энтропийных решений, как-то: вязкий предел, алгоритм «смотрящего за волнами» К. Дафермоса, разностные схемы типа Крэндалла-Майды, а также современные подходы как-то: дискретизация типа «игра в догонялки» и вопрос о нелокальной аппроксимации (из этого выводится не только существование энтропийных или обобщенных энтропийных решений, но и состоятельность самого понятия допустимости)
  • Технические вопросы предкомпактности и своеобразной регулярности решений (например, результаты Е. Ю. Панова о существовании следа энтропийного решения на границе области), тесно связанные с кинетической формулировкой Пертама и др.
  • Будет кратко рассказано, какие подходы и в какой степени годятся для построения фрагментов теории гиперболических систем.

Во второй части курса2 будет рассказано о проблемах связанных с неоднородностью потока в скалярном законе сохранения и о математических моделях в которых такая неоднородность играет важную роль. Будут обсуждены:

  • Краевые задачи, формулировка Бардоса-ЛеРу-Неделека, её геометрическая интерпретация и интерпретация «по Годунову»
  • Простейшая задача (точнее, задачи) с разрывным потоком, допустимость на разрыве потока с точки зрения моделирования и её математическое описание
  • Более общая постановка, включая задачи со свободной границей, и их дискретизация в духе С.К. Годунова
  • Разнообразные приложения к моделированию транспортных и пешеходных потоков

1 Молодым слушателям рекомендуется перед лекциями полистать учебное пособие “Уравнения с частными производными 1 порядка” А.Н. Горицкого, С.Н. Кружкова и Г.А. Чечкина (изд. Мехмата МГУ 1999г.), доступное в интернете, или его перевод на английский (De Gruyter Proceedings in Mathematics, De Gruyter, pp. 1-68, 2009, Analytical and Numerical Aspects of Partial Differential Equations, DOI: 10.1515/9783110212105.1) доступный по ссылке https://hal.science/hal-00363287


2 Эта часть курса основана на работах лектора и соавторов (с 2010 по настоящее время); с ключевыми идеями слушатели могут ознакомиться в обзорной статье B. Andreianov. New approaches to describing admissibility of solutions of scalar conservation laws with discontinuous flux. ESAIM : Proc. and Surveys 50 (2015), pp.40-65, DOI: dx.doi.org/10.1051/proc/201550003 доступной также по ссылке http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00940756