Модуль 4: Основы тригонометрии
Тригонометрическая окружность, синус и косинус
Определение, свойства и применение тригонометрических функций
Тригонометрическая окружность
Тригонометрическая окружность — это единичная окружность (радиусом 1), центр которой совпадает с началом координат.
Smoke is a collection of airborne solid and liquid particulates and gases emitted when a material undergoes combustion or pyrolysis, together with the quantity of air that is entrained or otherwise mixed into the mass.
It is commonly an unwanted by-product of fires (including stoves, candles, oil lamps, and fireplaces), but may also be used for pest control (fumigation), communication (smoke signals), defensive and offensive capabilities in the military (smoke-screen), cooking, or smoking (tobacco, cannabis, etc.).
It is commonly an unwanted by-product of fires (including stoves, candles, oil lamps, and fireplaces), but may also be used for pest control (fumigation), communication (smoke signals), defensive and offensive capabilities in the military (smoke-screen), cooking, or smoking (tobacco, cannabis, etc.).
- Ключевые особенности
- Позволяет измерять углы в радианах
- Каждой точке окружности соответствует бесконечное множество углов
- Углы отличаются на $2\pi k$ (где $k$ — целое число)
- Длина дуги между точками равна величине угла в радианах
Например, точка $B(0, 1)$ соответствует углам:
$$
\pi/2 + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{ℤ}.
$$
Тригонометрическая окружность служит основой для определения тригонометрических функций и анализа их свойств.
$$
\pi/2 + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{ℤ}.
$$
Тригонометрическая окружность служит основой для определения тригонометрических функций и анализа их свойств.
Основное тригонометрическое тождество
Из определения синуса и косинуса следует фундаментальное соотношение:
- Основное тригонометрическое тождество$$
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
$$
Это тождество выражает тот факт, что любая точка на единичной окружности удовлетворяет уравнению:
$$
x^2 + y^2 = 1.
$$
Геометрический смысл: квадрат гипотенузы (радиус = 1) равен сумме квадратов катетов (проекций на оси).
$$
x^2 + y^2 = 1.
$$
Геометрический смысл: квадрат гипотенузы (радиус = 1) равен сумме квадратов катетов (проекций на оси).
- Следствия тождества
- $|\cos\alpha| \leqslant 1$
- $|\sin\alpha| \leqslant 1$
- $\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$
- $\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$
Наконец, подстановка $t=0+$ в условия трансмиссии (1.1) даёт, в сочетании с (2.2) и (2.5), равенства
$$
\tag{2.8}
\sum\limits_{h\in D (a)}\alpha (a, h;0)\varphi^{+}_{h}(a)=k (a)\varphi (a)+\varkappa (a)\psi (a)+m (a)\varphi^{++}_{\eta\eta}(a),
\quad a\in J,\ \eta\in D (a).
$$
Если $m (a)=0,$ то, сначала дифференцируя по $t$ левую и правую части в условии трансмиссии (1.1) и затем полагая там $t=0+,$ получим, вдобавок к (2.8):
\begin{equation}\tag{2.9}
\sum\limits_{h\in D (a)}\left[\alpha (a, h;0)\psi^{+}_{h}(a)+\alpha'(a, h;0)\varphi^{+}_{h}(a)\right]= k (a)\psi (a)+\varkappa (a)\varphi^{++}_{\eta\eta}(a),
\quad a\in J,\ \eta\in D (a),
\end{equation}
— если, например, дополнительно $\alpha (a, h;\,\cdot\,)\in C^1[0;+\infty)$ при $a\in J$ и $h\in D (a).$ Все вышеперечисленные условия на $\varphi$ и $\psi,$ а также включения $\alpha (a, h;\,\cdot\,)\in C^1[0;+\infty),$ $a\in J,$ $h\in D (a),$ ниже предполагаются выполненными.
$$
\tag{2.8}
\sum\limits_{h\in D (a)}\alpha (a, h;0)\varphi^{+}_{h}(a)=k (a)\varphi (a)+\varkappa (a)\psi (a)+m (a)\varphi^{++}_{\eta\eta}(a),
\quad a\in J,\ \eta\in D (a).
$$
Если $m (a)=0,$ то, сначала дифференцируя по $t$ левую и правую части в условии трансмиссии (1.1) и затем полагая там $t=0+,$ получим, вдобавок к (2.8):
\begin{equation}\tag{2.9}
\sum\limits_{h\in D (a)}\left[\alpha (a, h;0)\psi^{+}_{h}(a)+\alpha'(a, h;0)\varphi^{+}_{h}(a)\right]= k (a)\psi (a)+\varkappa (a)\varphi^{++}_{\eta\eta}(a),
\quad a\in J,\ \eta\in D (a),
\end{equation}
— если, например, дополнительно $\alpha (a, h;\,\cdot\,)\in C^1[0;+\infty)$ при $a\in J$ и $h\in D (a).$ Все вышеперечисленные условия на $\varphi$ и $\psi,$ а также включения $\alpha (a, h;\,\cdot\,)\in C^1[0;+\infty),$ $a\in J,$ $h\in D (a),$ ниже предполагаются выполненными.
slriutreuoi rtjer
slgreutls dlfkjg dlfljdsg